今天在朋友圈里看到一道数学题以及一个巧妙的证明方法。

题目是这样的：

是否存在两个无理实数 \(a\) 和 \(b\)，使得 \(a^b\) 是有理数？

答案是存在。证明如下：

考察 \(\sqrt 2 ^ {\sqrt 2}\)，它是个有理数吗？有两种情况：

情况 1：\(\sqrt 2 ^ {\sqrt 2}\) 是有理数。这种情况下问题就被解决了，\(a = \sqrt 2\)，\(b = \sqrt 2\) 就是一组解。

情况 2：\(\sqrt 2 ^ {\sqrt 2}\) 不是有理数。那么，就令 \(a = \sqrt 2 ^ {\sqrt 2}\)，\(b = \sqrt 2\)，此时，\(a\) 和 \(b\) 都是无理数，但是 \(a ^ b = (\sqrt 2 ^ {\sqrt 2}) ^ {\sqrt 2} = \sqrt 2 ^ {(\sqrt 2 * \sqrt 2)} = \sqrt 2 ^ 2 = 2\)，这是一个有理数，问题得解。

这个证明的漂亮之处在于我们自始至终都不知道 \(\sqrt 2 ^ {\sqrt 2}\) 究竟是不是有理数，但是这并不妨碍我们得到最终结果。