无法用语言描述的数字

问题是这样的:是否存在这样的数字,我们知道它存在,却无法用语言描述它?

先抛出结论:存在。

可描述

要证明这样的数字存在,我们需要先定义一下什么是“可描述”,在这儿,我们采用一个简单粗暴的定义:可以使用有限个字符精确指定的事物,被称为可描述。对于数字来说,即是可以使用有限个字符精确表示的数字。

比如各个自然数:\(1\)、\(2\)、\(3\)……,小数:\(0.5\)、\(0.\dot{3}\) ……,分数:\(\frac{1}{3}\)、\(\frac{17}{29}\) ……,无理数:\(\sqrt{2}\)、\(\sqrt{3}\) ……,等等,都是可以用有限个字符精确表示的。

一些特殊的数甚至还有专门的名字,比如圆周率 \(π\),自然常数 \(e\),这一些自然也是可描述的,它们的名字就是对它们的描述。

还有一些比较复杂的数没有专用名字,但可以用算式精确表示,比如 \(\cos(\sqrt{\frac{7}{5}})\)、\(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-…\)、……,等等,也是可描述的,这些算式就是对它们的描述。

但如果只给出一个数字的前面 n 位,却不知它后面的数字是什么,则不能说这是对这个数字的描述。比如 \(0.966554122907……\) 就不是一个描述,因为它不能精确指定一个数字。就好像在班级里,你可以说“学号是 19 的同学”,大家能知道你说的是谁,不会有歧义,但如果你说“学号是 1 开头的同学”,一般就会有几位同学符合条件,无法知道你在说谁了。

简单来说,要描述一个数字,你要么直接给出它的精确值,要么给出它的命名,要么给出一个能得到它的值的算式或者算法。

这儿有一个有意思的悖论,如果真的存在不可描述的数字,并且我们找到了这样一个数字,那么这个数字马上会变成可描述的,比如就将它命名为“那个由 oldj 在某日上午 10 点找到的数字”。这个描述看似不精确,但结合上下文以及语境,的确是可以锁定某个具体的数字的,于是,我们也认为这个数字可描述了。

那是不是说就不存在不可描述的数字了呢?

自然不是,因为我们可以找到一个、两个这样的数字,甚至可以在一定规则下找到无穷多个这样的数字,这些数字一旦被找到之后就自动变成可描述的了,但无论我们如何努力,仍然会有无穷多个数字无法被我们精确找到。

简单来说,我们的语言只有有限个字符,所能生成的所有的描述语句(包括各种算式、算法),尽管可能有无数种组合,却是可数的,也就是说,能以某种方式,与 1、2、3…… 这样的自然数一一对应起来。

像 1、2、3…… 这样的自然数,虽然可以一直增长到无穷大,数量上是无穷的,但却是最“小”的一种无穷(\(\aleph_0\)),而数轴上的实数的数量,是一种更大的无穷,是不可数的。

不可数

关于实数为什么不可数,有很多精彩的证明,其中一个证明如下:

取 \((0, 1)\) 间的实数,假设实数是可数的,那么我们一定能找到某种方法,将 \((0, 1)\) 间的实数进行排序编号。不失一般性地,假设这种排序编号如下:

编号 数字
1 0.367907298575……
2 0.209006496378……
3 0.874761555568……
4 0.908158719864……
5 0.737294241171……
…… ……

此时,根据定义,\((0, 1)\) 中的任何一个数字,都可以从上面这个表中找到,不会有遗漏。

但我们总是可以构造出一个新的数字 \(x\),使得 \(x\) 也在 \((0, 1)\) 之中,但小数点中的第 1 位与上表中编号 1 的数字的第 1 位不同,第 2 位与上表中编号 2 的数字的第 2 位不同,……第 n 位与上表中编号 n 的数字的第 n 位不同。比如这样一个数:

\[x=0.41520……\]

注意 \(x\) 与表中的每一个数字都不同,因为它与这些数字之间总是至少有一位数不一样:

编号 数字
1 0.367907298575……
2 0.209006496378……
3 0.874761555568……
4 0.908158719864……
5 0.737294241171……
…… ……

这就表明不可能构建出这样一个表格,能将 \((0, 1)\) 之间的数字全部毫无遗漏地排序编号,也即,\((0, 1)\) 间的所有数字是不可数的。

小结

从上面的分析我们可以知道,一定存在无法用有限个符号精确描述的数字。即总是会存在那么一些数,我们知道它们存在,但不知道它们的精确值,也无法用某个算式或者算法将它表达出来。因为我们的语言是由有限个符号组合而成,表达能力存在上限,虽然这个上限是无穷大,但却是虽小的一种无穷,而所有数字总数的无穷,大于我们的语言组合的无穷。

进一步来说,如果将每一个数字都当作一个事实(真理),那么宇宙中的事实(真理)的数量,也将是我们的语言所不能完全描述的。遗憾的是,我们现在的文明,甚至我们的思维,都建立在由有限个符号组成的语言之上,从这个角度来说,我们的认知能力也存在着一个上限,使得我们就算拥有无限的时间,仍然无法认识到宇宙中的一切事实。

也许有更高级的文明,能使用一种更高级的不可数的语言来描述这个宇宙,对他们来说,宇宙大概是另一个样子。

分类:文章标签:夜话数学

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