最近偶然看到一道数学题：

已知： $$x^{x^{x^{x^{...}}}}=2$$ 问 $x$ 的值是多少？

即无穷个 $x$ 的乘方，值为 2，求 $x$ 。数学中凡是涉及无穷的题目都需要特别小心，因为在无穷的世界有很多事情与我们通常的直觉不符。

简单解答

无穷个变量的乘方，乍一看似乎很难下手。但这一题却正好有一个简单的解法，步骤如下：

$$\text{令}y=x^{x^{x^{x^{...}}}}\text{\hspace{1em}(1)}$$

这时，算式 $x^y$ 的值是什么呢？注意到原式子左边的 $x$ 有无穷多个，于是有：

$$x^y=x^{x^{x^{x^{...}}}}=y\text{\hspace{1em}(2)}$$

即：

$$x^y=y$$

$$x=y^{\frac{1}{y}}\text{\hspace{1em}(3)}$$

又根据原题，有 $y=2$，即有：

$$x=2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}$$

这个值即是方程的解。我们甚至可以写计算机程序验证一下，会发现将 $x=\sqrt{2}$ 代入原方程，迭代多次之后，结果的确是在向 2 收敛。

进一步探讨

上面的解答看起来很完美，似乎无懈可击，而且似乎暗示着无论 $y$ 的值是什么，都可以这么简单地解出来。

真的是这样吗？

如果 $y$ 更大一些，会是什么结果呢？比如下面的方程的解是什么？

$$x^{x^{x^{x^{...}}}}=4$$

按上面的步骤，我们很容易就能得到：

$$x^4=4$$

进而解得：

$$x=\sqrt{2}$$

结果和最初的方程（即 $y=2$ 时）是一样的！这显然不可能，一定是哪里错了。

注意上面的算式 (1) 以及算式 (2)，这儿其实是有一个隐含的前提，即 $y$ 的值是有限的，只有当 $y$ 是一个有限的数的时候，我们才能计算 $x^y$ 的值，才能有上面的算式 (2) 到 (3) 的转换。

再考查上面的等式 (3)，将它的变量名调整一下，等式 (3) 相当于：

$$f(x)=x^{\frac{1}{x}}\text{\hspace{1em}(4)}$$

对上式求导，有：

$$f(x{)}^{\prime }=x^{\frac{1}{x}}\left(\frac{1}{x^2}-\frac{\ln x}{x^2}\right)\text{\hspace{1em}(5)}$$

可以看到，当 $x<e$ 时，等式 (5) 的值大于 0，即函数 (4) 的值单调递增；当 $x=e$ 时，等式 (5) 的值等于 0，即函数 (4) 的值达到最大；当 $x>e$ 时，等式 (5) 的值小于 0，即函数 (4) 的值单调递减。

将 $x=e$ 代入函数 (4)，可得函数 $f(x)$ 的最大值为 $e^{\frac{1}{e}}$，即等式 (3) 中 $x$ 的最大值为 $e^{\frac{1}{e}}$，$y$ 的最大值为 $e$。

也就是说，如果方程 (1) 有解，那么 $y$ 的值不能超过数学常数 $e$（2.71828182845…），或者 $x$ 的值不能超过 $e^{\frac{1}{e}}$（1.444667861...）。事实上我们不难验证，如果 $x>e^{\frac{1}{e}}$，那么 $x^{x^{x^{x^{...}}}}$ 就会发散至无穷大。

另外，上面的计算都是在实数范围内，如果 $x$ 或 $y$ 小于 0，则可能出现虚数，就又是一个复杂的问题了。