平均数是大家耳熟能详的一个名词，可能也是被使用和被误解最多的一个统计名词。平均数分为很多种，常见的有算术平均数、几何平均数、调和平均数等，另外还有一些虽然不是平均数但作用相近的数字，比如中位数、众数等。大家平常说的平均数一般指的是算术平均数，也叫均值，即将所有数字相加再除以数字个数后得到的数字。

平均数一般用于表示统计对象的一般水平。什么是一般水平呢，就是说我知道这个数字后，对统计对象就能有一个大概的认识。比如如果我告诉你，这个班的学生的平均身高是 1 米 5，那么你在名单上随意选中一个学生时，你就会比较有把握地相信这位学生的身高应该在 1 米 5 左右，可能会有一些偏差，但基本上不会差得太多（比如他不太可能会是一位只有 50 厘米高的小矮人，也不太可能会是一位高达 4 米的巨人）。

在很多时候，平均数都能帮助我们了解事物，比如上面身高的例子。但是，平均数并不完美，有一些情况下使用平均数会让我们得到意外的结果。比如说，根据二八定律，大量的财富掌握在少量的人手里，具体一点来说，在一个公司里，老板的年薪可能有 105 万，普通职工则可能只有 5 万，如果这家公司有 1 位老板和 9 位普通职工，那么他们的平均年薪则是 15 万，你从这个平均数中能得到什么信息呢？

显然，如果你从这家公司里随意选一个人，他的年薪一定不是 15 万，并且差得还很多（要么是 5 万，要么是 105 万）。大量的普通员工得知这个统计结果后，会抱怨自己被高收入了，或者调侃自己拖后腿了，因为 15 万这个值与数量占绝对优势的大部分人来说差得太远了。

这也是平均数经常被人诟病的原因，因为有时候群体中可能会出现少量的异常值，这些异常值会显著地拉高或降低均值。

就算我们观察的数据中没有二八定律，有时由于各种原因造成的误差也会让平均数失效。比如在录入平均身高时，如果操作员不小心少打了一个小数点，将某位同学的身高输入成 175 米（本来应该是 1.75 米），那么班级的平均身高也会因为这个错误的异常值突然增大很多。当然，就这个例子来说，这个录入错误可能很容易被发现，因为对我们而言人类的身高范围是常识，但是有时我们面对的是一些我们不那么熟悉的事物，或者面对的是海量的数据，这时要从中找出这些错误的值恐怕就不那么容易了。

虽然有很多方法可以帮助我们过滤掉异常值，但大部分都比较复杂，或者不那么容易理解。相对来说，切尾均值（truncated mean，或trimmed mean，也译作修剪均值、截尾均值）是其中最直观并且效果也很不错的方法。

如同名字所暗示的，切尾均值需要丢弃一部分数据。具体做法是，将所有数据从小到大（或从大到小）排序，然后将最前面的 a% 和最后面的 a% 丢弃，再求剩下数据的均值。

我在《关于页面停留时间》一文中曾经介绍过这种方法，一个示意图如下：

上图的例子中丢弃了前后25%的数据，这种情况下得到的结果也叫作四分位均值（interquartile mean）。你也可以选择其他的比例，比如前后各丢弃 10% 的数据，实践中丢弃的比例一般在 5%~25% 之间。

我们很容易就能发现，切尾均值通常能够有效地避免异常值的影响。当考察的样本的分布类似像人的身高这样（正态分布）时，切尾均值理论上和算术平均数的值应该相等，当样本中存在极端的异常值时，切尾均值又能有效地避免或减小这些异常值的影响（与普通均值相比鲁棒性更好）。

切尾均值通常与中位数很接近，但与中位数相比，它包含了更多的样本信息，因此通常认为它更能反应统计对象的一般水平。

还有一些类似的均值与切尾均值一样不易受异常值的影响，比如三均值（trimean）。三均值也需要将样本按大小排序，然后按个数平均分为 4 份，并取得对应的三个四分位数 Q1、Q2、Q3，其第二四分位 Q2 在计算时将具有双倍的权重。如下面的公式所示：

注意到第二四分位 Q2 实际上就是中位数，三均值实际上是在中位数的基础上增加了一些对样本分布的考虑，因此比中位数包含了更多的样本信息。但是它毕竟只使用了三个四分位的值，看起来更像是中位数与四分位均值之间的一种折衷。

总的来说，切尾均值（比如四分位均值）是一个更为稳定也更能反应实际的统计量，值得在分析过程中使用并长期关注。

最后，还是不太清楚切尾均值是什么？其实你一定已经听说或者看别人用过它了，比如各种比赛中，评委打完分后，计算过程经常是去掉一个最低分，再去掉一个最高分，剩下的分数求平均作为选手的最终成绩。是的，这就是切尾均值。现在，你得到它了！