最近偶然看到一道数学题

已知: $$x^{x^{x^{x^{...}}}}=2$$ 问 $x$ 的值是多少?

即无穷个 \(x\) 的乘方,值为 2,求 \(x\) 。数学中凡是涉及无穷的题目都需要特别小心,因为在无穷的世界有很多事情与我们通常的直觉不符。

简单解答

无穷个变量的乘方,乍一看似乎很难下手。但这一题却正好有一个简单的解法,步骤如下:

\[\text{令}\quad y=x^{x^{x^{x^{...}}}} \tag{1}\]

这时,算式 \(x^y\) 的值是什么呢?注意到原式子左边的 \(x\) 有无穷多个,于是有:

\[x^y=x^{x^{x^{x^{...}}}}=y \tag{2}\]

即:

\[x^y=y\]

\[x=y^{\frac{1}{y}} \tag{3}\]

又根据原题,有 \(y=2\),即有:

\[x=2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}\]

这个值即是方程的解。我们甚至可以写计算机程序验证一下,会发现将 \(x=\sqrt{2}\) 代入原方程,迭代多次之后,结果的确是在向 2 收敛。

进一步探讨

上面的解答看起来很完美,似乎无懈可击,而且似乎暗示着无论 \(y\) 的值是什么,都可以这么简单地解出来。

真的是这样吗?

如果 \(y\) 更大一些,会是什么结果呢?比如下面的方程的解是什么?

\[x^{x^{x^{x^{...}}}}=4\]

按上面的步骤,我们很容易就能得到:

\[x^4=4\]

进而解得:

\[x=\sqrt{2}\]

结果和最初的方程(即 \(y=2\) 时)是一样的!这显然不可能,一定是哪里错了。

注意上面的算式 (1) 以及算式 (2),这儿其实是有一个隐含的前提,即 \(y\) 的值是有限的,只有当 \(y\) 是一个有限的数的时候,我们才能计算 \(x^y\) 的值,才能有上面的算式 (2) 到 (3) 的转换。

再考查上面的等式 (3),将它的变量名调整一下,等式 (3) 相当于:

\[f(x)=x^{\frac{1}{x}} \tag{4}\]

对上式求导,有:

\[f(x)'=x^{\frac{1}{x}} \left(\frac{1}{x^2}-\frac{\ln{x}}{x^2}\right) \tag{5}\]

可以看到,当 \(x < e\) 时,等式 (5) 的值大于 0,即函数 (4) 的值单调递增;当 \(x = e\) 时,等式 (5) 的值等于 0,即函数 (4) 的值达到最大;当 \(x > e\) 时,等式 (5) 的值小于 0,即函数 (4) 的值单调递减。

将 \(x = e\) 代入函数 (4),可得函数 \(f(x)\) 的最大值为 \(e^{\frac{1}{e}}\),即等式 (3) 中 \(x\) 的最大值为 \(e^{\frac{1}{e}}\),\(y\) 的最大值为 \(e\)。

也就是说,如果方程 (1) 有解,那么 \(y\) 的值不能超过数学常数 \(e\)(2.71828182845…),或者 \(x\) 的值不能超过 \(e^{\frac{1}{e}}\)(1.444667861...)。事实上我们不难验证,如果 \(x > e^{\frac{1}{e}}\),那么 \(x^{x^{x^{x^{...}}}}\) 就会发散至无穷大。

另外,上面的计算都是在实数范围内,如果 \(x\) 或 \(y\) 小于 0,则可能出现虚数,就又是一个复杂的问题了。