之前讨论过星期二男孩问题:一个人有两个小孩,其中有一个是生于星期二的男孩儿,问另一个是男孩儿的概率是多少?

在前面的帖子中,我曾经写过一个这个问题的等价描述,不过现在觉得那个等价描述还是太复杂了,其实还能写得更简单更容易一些。

我们先来看这样一个题目:

有两个质地均匀的骰子,每个骰子有六个面,上面分别标有 1 ~ 6 的数字,掷一个骰子时,哪个数字朝上是完全随机的,每个数字朝上的概率都是 1/6。现在,你掷了这两个骰子(注意,可以是先后掷,也可以是一起掷,这儿先后顺序是无关的),发现其中一个骰子朝上一面是 2,问:另一个骰子朝上一面的数字是偶数的概率是多少?

这个题目很简单,简单到我们可以罗列出所有可能性,如下表:

1,12,13,14,15,16,1
1,22,23,24,25,26,2
1,32,33,34,35,36,3
1,42,43,44,45,46,4
1,52,53,54,55,56,5
1,62,63,64,65,66,6

每个格子中的两个数字分别代表两个骰子朝上的面上的数字。其中一个数字是 2 的项位于第二行和第二列,即表格中添加阴影的部分,可以看到,一共有 11 种组合。而其中另一个数字也是偶数的项用粗体字标出了,可以看到,一共有 5 种可能的组合。所以,总的概率为 5/11 。

我们再把这个题中的数字改大一点,比如把有六个面的骰子改成有 14 个选项的转盘会怎么样?——有两个转盘,每个转盘被等分为 14 个部分,上面分别标有 1 ~ 14 的数字,转盘转动并停止时,停在每个数字上的概率都为 1/14。现在转动两个转盘,停止后,发现其中一个转盘的数字为 4,问另一个转盘上的数字为偶数的概率。

和上面掷骰子类似,我们可以得到下面的表格:

1,12,13,14,15,16,17,18,19,110,111,112,113,114,1
1,22,23,24,25,26,27,28,29,210,211,212,213,214,2
1,32,33,34,35,36,37,38,39,310,311,312,313,314,3
1,42,43,44,45,46,47,48,49,410,411,412,413,414,4
1,52,53,54,55,56,57,58,59,510,511,512,513,514,5
1,62,63,64,65,66,67,68,69,610,611,612,613,614,6
1,72,73,74,75,76,77,78,79,710,711,712,713,714,7
1,82,83,84,85,86,87,88,89,810,811,812,813,814,8
1,92,93,94,95,96,97,98,99,910,911,912,913,914,9
1,102,103,104,105,106,107,108,109,1010,1011,1012,1013,1014,10
1,112,113,114,115,116,117,118,119,1110,1111,1112,1113,1114,11
1,122,123,124,125,126,127,128,129,1210,1211,1212,1213,1214,12
1,132,133,134,135,136,137,138,139,1310,1311,1312,1313,1314,13
1,142,143,144,145,146,147,148,149,1410,1411,1412,1413,1414,14

可以看到,其中一个数字为 4 ,另一个数字也是偶数的概率为 13/27。注意到,这个数字和星期二男孩问题的答案一样。

那么,这个问题和星期二问题有什么关系吗?为什么再者的答案一样呢?事实上,14 个数字的转盘问题,就是星期二男孩问题的一个等价描述。要将转盘问题转换为星期二男孩问题,我们只需要做以下的映射即可:

转盘数字为奇数 -> 女孩;
转盘数字为偶数 -> 男孩;
(转盘数字 + 1) / 2 取整 -> 星期几;

于是,我们得到了星期二男孩的又一个更容易理解的等价描述:

有两个转盘,每个转盘被等分为 14 个部分,上面分别标有 1 ~ 14 的数字,转盘转动并停止时,停在每个数字上的概率都为 1/14。现在转动两个转盘,停止后,发现其中一个转盘的数字为 4,问另一个转盘上的数字为偶数的概率。