一道数学题及其证明

2015-06-29

今天在朋友圈里看到一道数学题以及一个巧妙的证明方法。

题目是这样的:

是否存在两个无理实数 \(a\) 和 \(b\),使得 \(a^b\) 是有理数?

答案是存在。证明如下:

考察 \(\sqrt 2 ^ {\sqrt 2}\),它是个有理数吗?有两种情况:

情况 1:\(\sqrt 2 ^ {\sqrt 2}\) 是有理数。这种情况下问题就被解决了,\(a = \sqrt 2\),\(b = \sqrt 2\) 就是一组解。

情况 2:\(\sqrt 2 ^ {\sqrt 2}\) 不是有理数。那么,就令 \(a = \sqrt 2 ^ {\sqrt 2}\),\(b = \sqrt 2\),此时,\(a\) 和 \(b\) 都是无理数,但是 \(a ^ b = (\sqrt 2 ^ {\sqrt 2}) ^ {\sqrt 2} = \sqrt 2 ^ {(\sqrt 2 * \sqrt 2)} = \sqrt 2 ^ 2 = 2\),这是一个有理数,问题得解。

这个证明的漂亮之处在于我们自始至终都不知道 \(\sqrt 2 ^ {\sqrt 2}\) 究竟是不是有理数,但是这并不妨碍我们得到最终结果。

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分类: 文章 标签: 数学
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评论:

zjcqoo
在 2015-07-07 20:37 写道:

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yc
在 2015-11-30 00:49 写道:

有趣!

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