最近偶然看到一道数学题：

已知： $$x^{x^{x^{x^{...}}}}=2$$ 问 $x$ 的值是多少？

即无穷个 \(x\) 的乘方，值为 2，求 \(x\) 。数学中凡是涉及无穷的题目都需要特别小心，因为在无穷的世界有很多事情与我们通常的直觉不符。

简单解答

无穷个变量的乘方，乍一看似乎很难下手。但这一题却正好有一个简单的解法，步骤如下：

\[\text{令}\quad y=x^{x^{x^{x^{...}}}} \tag{1}\]

这时，算式 \(x^y\) 的值是什么呢？注意到原式子左边的 \(x\) 有无穷多个，于是有：

\[x^y=x^{x^{x^{x^{...}}}}=y \tag{2}\]

即：

\[x^y=y\]

\[x=y^{\frac{1}{y}} \tag{3}\]

又根据原题，有 \(y=2\)，即有：

\[x=2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}\]

这个值即是方程的解。我们甚至可以写计算机程序验证一下，会发现将 \(x=\sqrt{2}\) 代入原方程，迭代多次之后，结果的确是在向 2 收敛。

进一步探讨

上面的解答看起来很完美，似乎无懈可击，而且似乎暗示着无论 \(y\) 的值是什么，都可以这么简单地解出来。

真的是这样吗？

如果 \(y\) 更大一些，会是什么结果呢？比如下面的方程的解是什么？

\[x^{x^{x^{x^{...}}}}=4\]

按上面的步骤，我们很容易就能得到：

\[x^4=4\]

进而解得：

\[x=\sqrt{2}\]

结果和最初的方程（即 \(y=2\) 时）是一样的！这显然不可能，一定是哪里错了。

注意上面的算式 (1) 以及算式 (2)，这儿其实是有一个隐含的前提，即 \(y\) 的值是有限的，只有当 \(y\) 是一个有限的数的时候，我们才能计算 \(x^y\) 的值，才能有上面的算式 (2) 到 (3) 的转换。

再考查上面的等式 (3)，将它的变量名调整一下，等式 (3) 相当于：

\[f(x)=x^{\frac{1}{x}} \tag{4}\]

对上式求导，有：

\[f(x)'=x^{\frac{1}{x}} \left(\frac{1}{x^2}-\frac{\ln{x}}{x^2}\right) \tag{5}\]

可以看到，当 \(x < e\) 时，等式 (5) 的值大于 0，即函数 (4) 的值单调递增；当 \(x = e\) 时，等式 (5) 的值等于 0，即函数 (4) 的值达到最大；当 \(x > e\) 时，等式 (5) 的值小于 0，即函数 (4) 的值单调递减。

将 \(x = e\) 代入函数 (4)，可得函数 \(f(x)\) 的最大值为 \(e^{\frac{1}{e}}\)，即等式 (3) 中 \(x\) 的最大值为 \(e^{\frac{1}{e}}\)，\(y\) 的最大值为 \(e\)。

也就是说，如果方程 (1) 有解，那么 \(y\) 的值不能超过数学常数 \(e\)（2.71828182845…），或者 \(x\) 的值不能超过 \(e^{\frac{1}{e}}\)（1.444667861...）。事实上我们不难验证，如果 \(x > e^{\frac{1}{e}}\)，那么 \(x^{x^{x^{x^{...}}}}\) 就会发散至无穷大。

另外，上面的计算都是在实数范围内，如果 \(x\) 或 \(y\) 小于 0，则可能出现虚数，就又是一个复杂的问题了。