之前写了一篇关于星期二男孩问题的帖子，最近被一位前辈指出了一处问题，虽然这个问题我也隐约注意到了，但直到被指出时才突然顿悟。

星期二问题的描述是这样的：一个人有两个小孩，其中有一个是生于星期二的男孩儿，问另一个是男孩儿的概率是多少？

乍一看之下，另一个小孩的性别与第一个小孩没有关系（事实上也的确是独立的），所以另一个小孩是男孩的概率应该是 50%。但上次我经过计算之后得到的結果是 13/27 。这个结果也并没有错，但需要某个隐藏条件，而对这个隐藏条件的认识正是理解这道题的关键所在。

让我们先看一个简化的版本：一个人有两个小孩，已知其中一个是男孩，问另一个是男孩的概率是多少？

没错，我们先把星期二这个条件去掉了，并且我们假设男孩女孩的出生概率是相等的。这个简化版本的答案是什么？50%？还是可能是其它值？

显然，一个符合我们直觉的事实是：如果这个人现在有一个孩子（无论是男孩还是女孩），他再生一个孩子是男孩的概率是 50%，是女孩的概率也是 50%。但这和上面的说他已经有两个小孩的情况有什么不同吗？

我们来看一个表格：

编号	第一个孩子	第二个孩子
1	男	男
2	男	女
3	女	男
4	女	女

在这个表格中，他有两个孩子，其中一个孩子是男孩的情况一共有 3 种（当然，对应地，他其中一个孩子是女孩的情况也有 3 种），分别是情况 1、2、3。而这三种情况中，只有在情况 1 下，另一个孩子也是男孩，即：

另一个孩子也是男孩的概率是 1/3 ，而不是直觉所认为的 1/2 ！

“只有一个孩子，是男孩，问再生一个孩子也是男孩的概率”和“有两个孩子，其中一个是男孩，问另一个孩子也是男孩的概率”究竟有什么不同？前一种描述，对应的其实是上面表格中编号为 1 和 2 的情况，显然，另一个孩子也是男孩的概率是 50% ；而后一种描述，对应的是上表中编号为 1、2、3 的三种情况，其中另一个孩子也是男孩的概率只有 1/3 。理解了这两者的区别，星期二男孩的问题也就迎刃而解了。

换一种说法，上面两种描述所携带的信息是不同的，第一种描述，只携带了第一个孩子的性别信息，另一个孩子的性别完全是未知的；而第二种描述，已经包含了第二个孩子的性别信息了，做这个描述的观察者知道所有两个孩子的性别，——事实上，这个观察者已经帮你删除了表格中编号为 4 的情况（即两个孩子都是女孩的情况），所以最终的概率受到了影响。也即，最终答案取决于问你这个问题的人告诉你“其中有一个是生于星期二的男孩儿”这个信息的人掌握了多少信息，他只知道一个孩子的性别并且刚好这个孩子是男孩，还是他知道所有两个孩子的性别然后告诉你其中一个是男孩。（关于这一部分，实际上是语义的问题，或说理解上可能出现歧义。见后续文章：《星期二男孩问题的一个等价描述》。）

让我们再来看原题的一个复杂一点的简化。

假设男孩女孩出生的概率相同，并且这个人的孩子有一半的概率是单眼皮，一半的概率是双眼皮，我们可以得到下面的表格：

编号	第一个孩子	第二个孩子	编号	第一个孩子	第二个孩子
1	男单	男单	9	女单	男单
2	男单	男双	10	女单	男双
3	男单	女单	11	女单	女单
4	男单	女双	12	女单	女双
5	男双	男单	13	女双	男单
6	男双	男双	14	女双	男双
7	男双	女单	15	女双	女单
8	男双	女双	16	女双	女双

上表中，“单”表示单眼皮，“双”表示双眼皮。题目是：这个人有两个小孩，已知其中一个孩子是单眼皮男孩，求另一个孩子也是男孩的概率。

和上面第一个简化类似，我们可以数一下表格中一个孩子是单眼皮男孩的情况，可以看到，编号 1、2、3、4、5、9、13 的情况中一个孩子是单眼皮男孩，共 7 种情况，其中另一个孩子也是男孩的情况有编号 1、2、5 三种，即另一个孩子也是男孩的概率是 3/7 。这儿概率也不是直觉的 50%。

如果把上面的单眼皮、双眼皮换成可能性再多一点的星期几，就回到原题了，如果像上面一样把所有可能性画成表格，我们将得到一个包含 196 种可能的表格。原题之中，其实也隐藏了一个前提，即做出“有两个小孩，其中有一个是生于星期二的男孩儿”这个描述的人，他已经观察了所有两个孩子的性别以及出生在星期几，和上面两个简化版一样，他在作出这个描述的时候，事实上已经删除了一些可能性（两个孩子都是女孩或没有一个孩子出生在星期二的情况），所以此时，我们面对的已经不是所有可能性，而只是所有可能性中的一个部分，所以概率不是 50%，而是 13/27（关于这个数字的计算过程请看上一篇帖子）。当然，如果这个观察者只知道这个人有两个孩子，并且只知道其中一个是星期二出生的男孩，而另一个孩子出生在星期几以及性别他完全不知道，那答案就是 50% 了。

所以，问题的关键点就在这里：观察者掌握了多少信息。他是只知道一个孩子的信息，还是已经观察了所有孩子、掌握了所有孩子的信息，这将决定他在做出描述时是否会在事实上删除掉一些情况，并最终影响到问题的概率。

这真是奇妙啊，做观察的人掌握的信息会影响到最终的结果，这似乎与量子力学中的波函数在被观察时会坍塌似乎有些类似，不过那是另一个深刻而又复杂的问题了。

倒是有另一个有趣的问题与这个问题非常类似，即“蒙特门难题”。

蒙特门难题是这样的：

一位美国电视游戏节目的主持人蒙特，曾在多年之前主持一档档名为成交的节目。 在其中的一个游戏中，蒙特向竞猜者展示了三扇门。有一扇门之后是一辆小轿车。 另两扇门之后是空房间。 蒙特事先知道门后是什么，但您并不知道。

游戏分为三步：

1. 您选择一扇门。
2. 蒙特将会打开剩余的两扇门中的一扇，展示一个空的房间。 （他从未打开那扇后面藏有汽车的。）
3. 然后您可以选择是仍然选择在步骤 1 中选择的那扇门，还是选择去打开另一扇仍然关闭的门。

假定您选择了 A 门。然后蒙特打开了另两扇门中的一扇，假定为 B 门。现在您可以选择改选 C 门或者仍然坚持最初的选择，即 A 门。如果没有改变选择，那么可能会猜对，也可能会猜错。另一方面，如果您改选 C 门，则还是既可能猜对也可能猜错。您会做出什么选择呢？在蒙特打开一扇门之后，是坚持最初的选择，还是改变前面已做的选择呢？为什么呢？

与星期二男孩问题类似，这题的关键点也在于主持人蒙特是否知道小轿车在哪扇门后，如果他知道，那他在步骤 2 中时，事实上就是帮你排除了一个错误的选项，所以这时你应该改变选择，因为这时你改变选择相当于在剩下的两扇门中二选一，猜中的概率是 1/2 。假如蒙特也不知道小轿车在哪扇门后，他随机在另两扇门中打开了一扇，只是刚好打开的是空的房间，那么你换还是不换都一样，猜中的概率仍然是 1/3 。事实上，我们可以把题目步骤改一下，改成：

1. 您选择两扇门，比如 A 门、B 门。
2. 蒙特将会打开你选择的两扇门中的一扇，展示一个空的房间。 （他从未打开那扇后面藏有汽车的。）

问小轿车在你选择的两扇门中没被打开的那一扇的概率。

改造过后的题目与原题是等价的，但这种步骤应该清晰了很多。你一开始选择了两扇门，小轿车在这两扇门后的概率是 2/3 ，如果蒙特知道小轿车在哪扇门后，明确地帮你排除了一个选项（打开了一扇空门），这时，小轿车在这扇空门后的概率为 0 ，在你选择的另一扇门后的概率为 2/3 ；如果蒙特不知道小轿车在哪扇门后，小轿车在你选中的两扇门后的概率仍然为 2/3 ，但是蒙特有 1/2 的概率打开 A 门，1/2 的概率打开 B 门，如果打开的门后面有小轿车，游戏就结束了，如果刚好打开的是空门，则游戏继续，小轿车在你选中的剩下的那扇门后的概率为 2/3 * 1/2 = 1/3。

当然，根据题意，蒙特是知道小轿车在哪扇门后的，所以你应该改变选择。假如你不确定蒙特知不知道，那你也应该换，因为如果他知道，你换了之后猜对的概率就上升了，假如他不知道，你换了也没什么损失，而根据题意，他事实上已经打开了一扇空门，此时无论他知不知道小轿车在哪扇门后，你改变选择后猜对的概率都是 2/3，所以无论如何，你应该改变选择。

最后简单总结一下，观察者所掌握的信息的多少有时会影响到最终的概率，我们把现实问题抽象为数学问题尤其是概率相关的问题之时，一定要万分小心，因为这一步有时并没有想象的那么简单。